已知0<θ<π/2,求证tanθ+cotθ的最小值是2

tanθ+cotθ
=sinθ/cosθ+cosθ/sinθ
=(sin²θ+cos²θ)/sinθcosθ
=2/sin(2θ)

又0<θ<π/2，则0<2θ<π
sin(2θ)在此区间内恒为正
所以当sin(2θ)为最大值时，tanθ+cotθ可取到最小值
在0<2θ<π区间内，sin(2θ)可取到最大值1
所以tanθ+cotθ的最小值为2/1=2

你先将tanθ+cotθ化为tanθ+1/tanθ(因为cotθ=1/tanθ)
当0<θ<π/2时，tanθ与cotθ的取值范围都是（0，+∞）
明显tanθ=1时,原式=2;
当tanθ≠1时,由于
(tanθ+cotθ)-2
=tanθ+1/tanθ-2
=(√tanθ)²+(√1/tanθ)²-2*（√tanθ）*（√1/tanθ）
=（√tanθ-√1/tanθ）²＞0（此处√表示根号）
故当tanθ≠1时，原式＞2；综上可知，原式的最小值为2.

因为tanθ为正的，用基本不等式即可

tanθ、cotθ均大于0，所以tanθ+cotθ>=2倍根号下tanθ*cotθ